زندگی روزانه علاوه بر مفاهیم پیشامد، احتمال، و متغیر تصادفی با مفهوم دیگری به­نام امید یا انتظار همراه است. در حالی که انسان همواره با امید زندگی می­کند، ولی نمی­تواند بیش از حد به بعضی رویدادها چشم امید داشته باشد. امید و انتظار هم مانند تصادف و شانس، در عین بی­نظامی، تابع نظام و قوانینی می­باشد.

از نظر تاریخی امید و انتظار مانند تصادف و احتمال از راه بازی های قمار جنبه ریاضی پیدا کرده است. برای اینکه مطلب روشن شود به بازی شیر و خط زیر توجه نمائید:

فرض کنید با خریدن یک بلیط بتوانید در یک بازی تفریحی شرکت کنید. در این بازی یک ماشین سکه انداز با فشار تکمه­ای به تصادف سه سکه با رنگ­های مختلف را باهم می­ریزد و با فشار تکمه­ای دیگر به اندازه شماره شیرها، سکه ده ریالی به شما می­پردازد.

صاحب ماشین مدعی است که اصلاً قمار و سودجویی ندارد و صرفاً می­خواهد مردم را سرگرم کند، ولی قیمت هر بلیط باید طوری باشد که بعد از چند بازی رویهم ضرر نکند. منصفانه بهای هر بلیط چقدر باید باشد؟

چون سکه­ها کاملاً به تصادف می­ریزند، احتمال اینکه شماره شیرها 0،1،2،3 شوند به­ترتیب 8/1، 8/3 ، 8/3،8/1 می­باشد. حال اگر تعدادی زیاد بلیط، مثلاً 400 بلیط، فروش رود انتظار می­رود (بنابر تعبیر احتمال با فراوانی نسبی) 50 مرتبه هیچ شیر،150 مرتبه یک شیر، 150مرتبه دو شیر، و 50 مرتبه سه شیر مشاهده شود. بنابراین انتظار می­رود که ماشین برای 400 بلیط مبلغ زیر را بپردازد:

(400×1/8×0)+(400×3/8×1)+ (400×3/8×2)+ (400×1/8×3)=600 tooman

برای اینکه صاحب ماشین نه سود نماید نه زیان، بهای هر بلیط به­طور متوسط یا منصفانه باید 1.5=400÷600 تومان باشد. بنابراین اگر 400 بلیط به مبلغ 600 تومان فروخته شود انتظار می­رود که ماشین هم همین مبلغ را بپردازد.

در این مثال یک متغیر تصادفی X ( یعنی شماره شیرها در ریزش 3 سکه ) داریم که جدول توزیع احتمال آن به­صورت زیر است:

عدد زیر را که حقیقت معدل وزنی شماره شیرها می­باشد، امیدریاضی یا امیدX  می­نامند و با E(X) نشان می­دهند (E حرف اول کلمه Expectation به­معنای انتظار است)

E(x)= (1/8×0)+(3/8×1)+( 3/8×2) + (1/8×3)=1.5

تعبیر فراوانی E(x)=1.5 چنین  است: اگر ماشین این سه سکه را بارها مثلاً 1000 بار بریزد انتظار داریم معدل شیرها در هر بار بشود عدد 5/1.

¤ نویسنده: سیامک داداشی